זהויות 7: סינוס וקוסינוס של סכום והפרש זוויותטריגונומטריה 571 · שיעור 44
טריגונומטריה · שאלון 571
שיעור 43 – זהויות 7: סינוס וקוסינוס של סכום והפרש זוויות
פרק 6 – זהויות טריגונומטריות
1נוסח השאלה
2סעיף א – בדיקה
3סעיף ב – sin 75
4סעיף ג – cos 15 ו־cos 105
5סעיף ד – זווית כפולה מתוך זהות הסכום
📄 נוסח השאלה
א. בדקו את הזהות sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b עבור a = 30 , b = 60 בעזרת הערכים המדויקים.
ב. מצאו ערך מדויק ל־sin 75 (רמז: 75 = 45 + 30).
ג. מצאו ערך מדויק ל־cos 15 ול־cos 105.
ד. הראו שמזהות הסכום מקבלים את הזהות sin(2x) = 2 sin x cos x.
סעיף א – בדיקה
ארבע הזהויות (בדף הנוסחאות):
📐 סינוס וקוסינוס של סכום והפרש
sin(30 + 60) = sin 90 = 1
sin 30 cos 60 + cos 30 sin 60 = 12 · 12 + √32 · √32
14 + 34 = 1
✅ פתרון סופי: 1 = 1 ✓
📐 סינוס וקוסינוס של סכום והפרש
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
סעיף ב – sin 75
sin(45 + 30) = sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30
📐 סינוס וקוסינוס של סכום והפרש
sin 75 = √22 · √32 + √22 · 12
sin 75 = √64 + √24 = √6 + √24
בדיקה: √6 + √24 ≈ 0.9659 ו־sin 75 = ≈ 0.9659 ✓
✅ פתרון סופי: sin 75 = √6 + √24
📐 סינוס וקוסינוס של סכום והפרש
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
סעיף ג – cos 15 ו־cos 105
cos(45 − 30) = cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30
📐 סינוס וקוסינוס של סכום והפרש
cos 15 = √22 · √32 + √22 · 12
cos 15 = √6 + √24
cos(60 + 45) = cos 60 cos 45 − sin 60 sin 45
📐 סינוס וקוסינוס של סכום והפרש
cos 105 = 12 · √22 − √32 · √22
cos 105 = √2 − √64
📐 סינוס וקוסינוס של סכום והפרש
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
📐 סינוס וקוסינוס של סכום והפרש
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
סעיף ג – cos 15 ו־cos 105 · המשך
cos 105 = √2 − √64
יצא מספר שלילי (≈ −0.2588) – מתאים, כי 105 זווית קהה.
✅ פתרון סופי: cos 15 = √6 + √24 , cos 105 = √2 − √64
סעיף ד – זווית כפולה מתוך זהות הסכום
מציבים a = b = x:
sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x
📐 סינוס וקוסינוס של סכום והפרש
sin(2x) = 2 sin x cos x
באותה דרך cos(x + x) = cos2x − sin2x – זו הזהות של הקוסינוס של זווית כפולה.
✅ פתרון סופי: sin(2x) = 2 sin x cos x
📐 סינוס וקוסינוס של סכום והפרש
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
📌 סיכום התשובות
סעיף א
הזהות מתקיימת
סעיף ב
sin 75 = √6 + √24
סעיף ג
cos 15 = √6 + √24 , cos 105 = √2 − √64
סעיף ד
sin(2x) = 2 sin x cos x
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא